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2024和1是量的區(qū)別，無限和2024是質(zhì)的區(qū)別。由原本一個(gè)不知道是否無限的數(shù)，確定為一個(gè)有限的數(shù)，相比過去的證明結(jié)果，這次的證明在一定程度上可以說是質(zhì)的飛躍。

對(duì)于研究數(shù)論的人來說，或許存在兩個(gè)宇宙。朗道-西格爾零點(diǎn)存在于其中一個(gè)宇宙中，而在一個(gè)宇宙中，朗道-西格爾零點(diǎn)則不存在。讓他們感到困惑的在于，人類究竟處于哪個(gè)宇宙之中？

關(guān)于這個(gè)問題，美國加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授、美籍華裔數(shù)學(xué)家張益唐前不久給出了他的初步答案，我們極有可能處于不存在朗道-西格爾零點(diǎn)的那個(gè)宇宙中。近日，在面向北京大學(xué)師生和公眾的線上學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)上，張益唐分享了他關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的最新研究成果。

(資料圖片僅供參考)

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的“前世今生”究竟如何？如果張益唐的最新研究成果通過驗(yàn)證，對(duì)數(shù)學(xué)界將產(chǎn)生哪些影響？就這些問題，科技日?qǐng)?bào)記者采訪了相關(guān)專家。

從素?cái)?shù)到廣義黎曼猜想

要理解朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，還要從素?cái)?shù)開始講起。素?cái)?shù)也稱質(zhì)數(shù)，是指只能被自身和1整除的正整數(shù)。

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)副研究員、知名科普專家袁嵐峰向科技日?qǐng)?bào)記者介紹，素?cái)?shù)可以被理解為是構(gòu)成自然數(shù)的基本單元。袁嵐峰認(rèn)為：“素?cái)?shù)有一種關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)的、奇妙且神秘的美感。”

公元前300年左右，古希臘學(xué)者歐幾里得通過十分簡(jiǎn)潔、巧妙的方法證明了素?cái)?shù)是無窮的。

在這個(gè)發(fā)現(xiàn)之后，人們又不禁發(fā)問，既然素?cái)?shù)是無窮的，那么素?cái)?shù)的分布是否有規(guī)律，是否可以得出一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的通項(xiàng)公式？這成為了此后數(shù)千年間無數(shù)偉大的數(shù)學(xué)家，尤其是數(shù)論研究者魂?duì)繅?mèng)繞的問題。在追尋這一問題答案的過程中，誕生了如哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、黎曼猜想等諸多舉世聞名的數(shù)學(xué)相關(guān)問題。

19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家黎曼在一篇論文中發(fā)表了重磅觀點(diǎn)，即素?cái)?shù)分布的奧秘完全隱藏在一個(gè)特殊的函數(shù)中，這就是著名的黎曼ζ函數(shù)。使這個(gè)函數(shù)取值為0的一系列特殊點(diǎn)會(huì)對(duì)素?cái)?shù)的分布規(guī)律產(chǎn)生決定性影響。這些點(diǎn)便被稱為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。如果用最簡(jiǎn)潔的語言來表述黎曼猜想，那便是黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都等于1/2。如果在復(fù)平面上作圖，則這些零點(diǎn)都分布在實(shí)部為1/2的直線上。

黎曼猜想被提出后，為了研究等差數(shù)列上的素?cái)?shù)分布問題，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷又引入了狄利克雷L函數(shù)。該函數(shù)被看作是黎曼ζ函數(shù)的推廣形式。數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，狄利克雷L函數(shù)上的零點(diǎn)也都位于實(shí)部等于1/2的那條直線上，這便是廣義黎曼猜想。廣義黎曼猜想和黎曼猜想在數(shù)學(xué)中都具有重要價(jià)值。袁嵐峰表示，目前人們已經(jīng)在假定它們成立的前提下證明了許多命題。假如能證實(shí)這兩個(gè)猜想，人類將能站上更高的平臺(tái)，看到更美麗、廣闊的數(shù)學(xué)風(fēng)景。

或邁出證明“零點(diǎn)猜想”正確性的一大步

德國數(shù)學(xué)家西格爾和其導(dǎo)師朗道在對(duì)狄利克雷L函數(shù)進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)異常零點(diǎn)可能并不存在于那條實(shí)部為1/2的直線上，而是位于非常接近1的地方。這個(gè)零點(diǎn)也被命名為朗道-西格爾零點(diǎn)。如果這個(gè)零點(diǎn)真的存在，那么廣義黎曼猜想將會(huì)被推翻。雖然廣義黎曼猜想目前尚未得到證明，但數(shù)學(xué)家們大多默認(rèn)其正確性。因此猜測(cè)朗道-西格爾零點(diǎn)不存在，這就是朗道-西格爾零點(diǎn)猜想。而證明朗道-西格爾零點(diǎn)并不存在，也成了包括張益唐在內(nèi)的諸多數(shù)學(xué)家的夙愿。

根據(jù)張益唐的自述，他自上世紀(jì)末便開始思考朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，并在2007年時(shí)發(fā)表過一篇相關(guān)論文，但那篇論文并不完美。在今年10月中旬，張益唐在北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會(huì)上透露，他本質(zhì)上解決了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想問題，當(dāng)即引發(fā)數(shù)學(xué)界轟動(dòng)。在近日舉行的線上報(bào)告會(huì)正式開始前，張益唐謹(jǐn)慎地表示，他此次的研究成果“只是在一定范圍里部分地解決黎曼假設(shè)應(yīng)該是對(duì)的。”之所以這樣說，是因?yàn)閺堃嫣撇]有完全證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，但已經(jīng)在證明其正確性的路上邁出了一大步。

在張益唐給出的兩個(gè)證明定理中，一個(gè)定理的指數(shù)是-2024。但是，如果要完全證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，理想情況該指數(shù)應(yīng)該是-1。當(dāng)報(bào)告會(huì)中有學(xué)生問道，2024可以進(jìn)一步縮小到多少時(shí)，張益唐坦言：“很多步驟還可以更精細(xì)，到幾百是可以的。但如果要到1，僅用目前這個(gè)辦法是不夠的。”

袁嵐峰表示：“2024和1是量的區(qū)別，無限和2024是質(zhì)的區(qū)別。由原本一個(gè)不知道是否無限的數(shù)，確定為一個(gè)有限的數(shù)，相比過去的證明結(jié)果，這次的證明在一定程度上可以說是質(zhì)的飛躍。”

山東大學(xué)教授劉建亞也認(rèn)為，自20世紀(jì)30年代以來，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的研究便幾乎沒有出現(xiàn)實(shí)質(zhì)性的突破。如果此次張益唐的證明通過驗(yàn)證，或?qū)⒃谝欢ǔ潭壬细膶懡馕鰯?shù)論的教科書。

將反證法用到極致且不斷創(chuàng)新

張益唐此次采用的論證方法是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的“矛盾證明法”，也稱為“反證法”。根據(jù)張益唐的博士生、加拿大女王大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)博士后阮大衛(wèi)的描述，張益唐首先是假設(shè)朗道-西格爾零點(diǎn)以弱形式存在，推導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)這會(huì)導(dǎo)致狄利克雷L函數(shù)中的其他零點(diǎn)以非常規(guī)則的間距排列起來。但實(shí)際上，這些零點(diǎn)的分布并不具備這樣的規(guī)律，連續(xù)零點(diǎn)之間的間距是不可預(yù)測(cè)的。因此，反過來證明了朗道-西格爾零點(diǎn)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不存在。袁嵐峰表示，雖然反證法已是數(shù)學(xué)中極為經(jīng)典的方法，但張益唐將其應(yīng)用到了極致。

反證法雖是人人都能理解的基礎(chǔ)方法，但這次證明的過程是難以想象的艱深。張益唐將其比喻為大海撈針，“我試了很多方法，包括變分法、積分方程等，但關(guān)鍵一步都跨不過去。后來我發(fā)現(xiàn)，即使撈不到這根針，我也已經(jīng)把海底環(huán)境摸索清楚了，也不一定非得撈到這根針。”

袁嵐峰認(rèn)為，這里說的“針”是指?jìng)鹘y(tǒng)證明方法中需要的某個(gè)數(shù)列。“以前找到這樣一個(gè)數(shù)列便能構(gòu)造出某種矛盾，用反證法證明某類問題。張益唐證明孿生素?cái)?shù)猜想的相關(guān)結(jié)果，用的就是這種方法。但這次對(duì)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的證明，他發(fā)現(xiàn)這種傳統(tǒng)方法并不適用，無論如何都找不到這樣的一根‘針’。但他在大量研究后發(fā)現(xiàn)，有許多個(gè)數(shù)列都能達(dá)到同等的較弱的效果，于是他利用這個(gè)事實(shí)構(gòu)造出矛盾，應(yīng)用反證法解決了問題，這也就是為什么他說‘不一定非得撈到這根針’。”袁嵐峰說。

張益唐認(rèn)為，經(jīng)典方法是否有效，取決于能否將它用到極致。袁嵐峰表示，此前的許多數(shù)論研究都以朗道-西格爾零點(diǎn)不存在為前提假設(shè)，假如這次張益唐能夠在一定范圍內(nèi)證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的正確，將會(huì)使得許多研究的假設(shè)性結(jié)果變?yōu)榇_定性結(jié)果。

張益唐本人則表示，目前的研究成果只是在小范圍內(nèi)證明朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是對(duì)的，即該零點(diǎn)確實(shí)不存在。但研究還需進(jìn)一步完善，下一步他將繼續(xù)深化對(duì)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的研究。